משתמש:בנצי/ארגז חול כללי: סוף אוגוסט 2009

מטלות שנותרו בערך 'עקיפה'

א. דוגמאות והמחשות כמותיות טובות, לעקיפה, נלק', עמ' 704. ב. העלאה לויקישיתוף והורדה משם, של כל הדרוש לי, בשלושת הערכים (כולל השלמת הכנת האיורים החסרים לי). ג. מיפתח עגול; קריטריון ריילי. ד. סעיף פרנל. ה. פירוק ל-3 ארגזים: שבור, עקיף ומפוזר. ו. להטמיע את המלל מקובץ 'וורד' לכאן, בהתאם לארגזים המתאימים. ז. להעביר את הערות השוליים. ח. אם אספיק: כושר הפרדה של עדשה (חשוב !), האל', 46-5. ט. מקורות. י. איזכור הקשר לגלים עומדים, במבוא - יותר מאוחר (יסודות ב', 2, עמ' 196).

מציאת התנאי לקבלת פסי מינימה בתבנית העקיפה

להקדים כמה מלים - חלוקה הסדק לשני אזורים שווים - עליון ותחתון [שאלה שצריך לברר בהמשך: אבל מגיעים גלילים שמקורם מגלילים אחרים, ואלה אמורים לתרום . . .]. $\ {\frac {w}{2}}\sin \theta ={\frac {\lambda }{2}}$, כלומר, $\ w\sin \theta =\lambda$. מביטוי זה רואים מיד את חשיבותו של היחס $\ {\frac {w}{\lambda }}$, כלומר, עבור סדק צר יותר, המינימום הראשון מתקבל קרוב יותר למרכז התבנית (סדר ה-0). במקרה המיוחד בו $\ w=\lambda$, יתקבל הסדר המרכזי בלבד, מאחר ואז $\ \theta =\pm 90^{0}$, כלומר, שני פסי המינימה מסדר ראשון חלים ב-$\ \pm \infty$, בהתאמה. חלוקת הסדק לארבעה אזורים שווים [אחד הספרים, אולי נלקון, ואולי גלר, עושה זאת עם חלוקה רצופה, כלומר לשלושה אזורים שווים, וכן הלאה - להשוות]: $\ {\frac {w}{4}}\sin \theta ={\frac {\lambda }{2}}$, כלומר, $\ w\sin \theta =2\lambda$. ובהכללה, התנאי לקבלת פסי מינימה הוא $\ w\sin \theta =m\lambda$, כאשר, $\ m=1,2,3,...$.

להקדים ולדבר על סדרים + איור מתאים, ואיכשהו זה צריך לבוא לפני השורות הקודמות (הרעיון הטוב ביותר הוא לדחות את כל השורות מהמלים "מביטוי זה", עד אחרי ההכללה. בעיה נוספת שם, איך המחבר יודע, כבר בשלב ההוא, לומר שמדובר במינימום ראשון ? את זאת אנחנו יודעים אחרי שמגיעים לביטוי הכללי). התייחס גם לנקודות מקסימה: גם מה שמציין האלידיי, בעמ' 1028 (בקירוב באמצע), ולהמשיך עם מה שבמבוא (לא בדיוק באמצע, והשינוי במידת הדיוק בזוויות קטנות וגדולות); ובכלל, להתייחס לקירוב זוויות קטנות, ותוצאותיו (גם בהמשך לשיחה עם עידו, בזמנו + לעדכן אותו אח"כ).

פיתוח הביטוי להתפלגות האור בתבנית עקיפה בסדק יחיד

[מקורות: האלידיי, הכט, ג'נקינס, מבוא, גלר] סדק יחיד, שהוא מיפתח מלבני בעצם. ראה דיון במיפתח מעגלי, בסעיף נפרד. מאחר וכל נקודה על חזית הגל החודרת לתוך הסדק, מהווה, לפי עקרון הויגנס, מקור גלים משני, הרי שנקודות אלה מקרינות לכל עבר, וקרני אור מגיעות מכל המקורות המשניים הללו לכל נקודה על תבנית העקיפה [הערת שוליים: מרחב הנקודות הללו מוגבל כמובן לאזורים אליהם מתפשטת חזית הגל העוקפת]. ניתן אם כן, עקרונית, לסכם את כל חזיתות הגלים הללו בכל נקודה על תבנית ההתאבכות. מקובל לבצע סיכום זה באמצעות חיבור פאזורים, המקביל לחיבור וקטורים. דרך זו שימושית מאוד בחיבור גדלים הרמוניים, כמו מתחים וזרמים, במעגלי ז"ח, או גלים אלקטרומגנטיים, מאחר וכל גל כזה ניתן לתיאור באמצעות המשרעת והמופע שלו [גל הרמוני; קשר לתנועה זוויתית; ולכן המופע הוא כמו כיוון במרחב + להוסיף כאן את הביטוי המתימטי לגל (+ איפה ראיתי תיאור מפורט של ביטויים מתימטיים שונים לגל, ובאיזה הקשר ?)]. מאחר והמשרעות של הגלילים המשניים שוות [להשלים נקודה זו - להתייחס למופעים שלהם, וליחס בין מופעים אלה], הרי שהתיאור הגרפי של סכום הפאזורים המתאימים הוא קטע של מצולע משוכלל (להתייחס לאופן קבלת קטע של מצולע כאן,לפני שעוברים לקשת - בהסתמך על הסעיף הקודם בספר), כאשר המשרעת השקולה בנקודה P כלשהי על המסך (להתייחס לזווית θ), היא A_θ. אם נחלק את מישור הסדק לרצועות קטנות אינפיניטסימליות (קטנות לאין שיעור), הרי שקטע המצולע הופך לקשת של מעגל, כמוראה באיור.

$\ E_{\theta }=2R\sin {\frac {\phi }{2}}$, ובמונחים של רדיאנים, $\ E_{\theta }={\frac {E_{m}}{\frac {\phi }{2}}}\sin {\frac {\phi }{2}}$, לפי $\ \phi ={\frac {E_{m}}{R}}$ או $\ E_{\theta }=E_{m}{\frac {\sin {\alpha }}{\alpha }}$, כאשר $\ \alpha ={\frac {\phi }{2}}$ . עתה, נזכור כי $\ \phi$ הוא הפרש המופעים בין הגלילים הפורשים משני קצות הסדק, נוכל לקבל את הביטוי עבורו בהסתמך על הקשר $\ {\frac {phase\ difference}{2\pi }}={\frac {path\ difference}{\lambda }}$, כאשר $\ a=\sin {\theta }$, הוא הפרש הדרכים ביניהם, לפי איור [46-6 בהאל], כלומר, $\ \phi ={\frac {2\pi }{\lambda }}a\sin \theta$, או במונחים של $\ \alpha$, נקבל $\ \alpha ={\frac {{\pi }a}{\lambda }}\sin \theta$. תוצאה זו נותנת את משרעת ההפרעה הכוללת המגיעה מהסדק, כפונקציה של $\ \theta$, דרך $\ \alpha$. מאחר ועוצמת הגל בכיוון $\ \theta$ הינה מתכונתית לריבוע המשרעת בכיוון זה, עוצמת הגל בכיוון $\ \theta$ תהיה $\ I_{\theta }=I_{m}\left({\frac {\sin {\alpha }}{\alpha }}\right)^{2}$ . ביטוי זה נותן מידע מלא של התפלגות עוצמת האור על פני תבנית העקיפה, בניגוד לשיקולים שתוארו בסעיף הקודם, שהניבו מידע על המקומות בהם עוצמת האור מתאפסת, בלבד. כפי שנראה להלן, הביטוי לנקודות מינימה אלה מתקבל כאשר המונה בסוגריים מתאפס, כלומר עבור $\ \alpha =m\pi$, או $\ a\sin {\theta }=m\lambda$, כאשר $m$ הוא כפולה שלמה (m = 1,2,3,...), הזהה לביטוי אותו קיבלנו בסעיף הקודם.

מהביטוי שקיבלנו עבור התפלגות עוצמת האור, ניתן לראות שמימדי התבנית משתנים בתלות ב- $\ {\frac {a}{\lambda }}$. לדוגמא, הגדלתו של יחס זה, על ידי הגדלת רוחב הסדק או על ידי הקטנת אורך הגל, תניב בכיוון מסוים סדר גבוה יותר, כלומר התבנית מתכווצת. [מאוד מתאימים כאן: איור 46-9 בהאל, 44-1 ו-44-3, שם; וכן החלק השני בפסקה בנלקון, וכמובן 46-8 ו-46-6, החשובים לסעיף זה].

עקיפת פראונהופר במיפתח עגול

קריטריון ריילי.

עקיפת פרנל

כאמור, עקיפת פרנל מתאימה למקרה הכללי ביותר, כלומר היא איננה מוגבלת לחזיתות גל מישוריות (קרניים מקבילות), ולכן המקורות המשניים שעל חזית הגל אינם בעלי אותו מופע. חיבור כל ההפרעות המגיעות מסדק מלבני שממדיו a ו-b אל המסך היא מלאכה מורכבת למדי [ראה: לציין את הכט, קליין, ג'נקינס], והביטוי הסופי עבור התפלגות האור ניתן על ידי

התאבכות משני סדקים - ניסוי יאנג

התנאי המוכר לקבלת פסי מקסימה בתבנית ההתאבכות משני סדקים, $\ d\sin \theta =m\lambda$, איננו מציאותי, מאחר והוא מתייחס למצב תיאורטי בו רוחב הסדקים זניח. לאמיתו של דבר, התפלגות האור המלאה על המסך, מצייתת הן לתנאי זה, מבחינת האינטראקציה בין שני הסדקים, ובו זמנית, גם לתנאי עבור כל אחד מהסדקים, מבחינת העקיפה שהוא יוצר. כלומר, התפלגות האור על המסך, תהיה פונקציה של שני גורמים המאפננים זה את זה - גורם העקיפה, $\ I\left(\theta \right)_{d}=I_{m},d\left({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)^{2}$, כאשר, $\ \alpha ={\frac {w\pi }{\lambda }}\sin \theta$, וגורם ההתאבכות, $\ I\left(\theta \right)_{i}=I_{m},i\left(\cos \beta \right)^{2}$, כאשר, $\ \beta ={\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta$, ומכאן, הביטוי המלא להתפלגות האור, הינו $\ I\left(\theta \right)=I_{m}\left(\cos \beta \right)^{2}\left({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)^{2}$.

סריג עקיפה

סריג עקיפה מהווה בעצם הרחבה של מערכת שני סדקים כמו בניסוי תומאס יאנג, כלומר סריג היוצר התאבכות בין מספר רב של מקורות. ריבוי הסדקים גורם, למעשה, לפסי המקסימה להיות נדירים יותר, כלומר עם מרווח גדול יותר ביניהם, מאחר ואינטואיטיבית, יותר מקורות צריכים לקיים את התנאי להתאבכות בונה. לעובדה זו, משמעות שימושית חשובה מאוד, למשל, בחקר מבנה ספקטרום הפליטה של גז, ועוצמות הקווים המרכיבים אותו (ראה ספקטרוסקופיה).

משוואת הסריג נותנת את מיקומי פסי המקסימה בתבנית העקיפה, והיא זהה למעשה, לזו של מערכת שני סדקים, כלומר, $\ d\sin \theta =m\lambda$, כאשר האור מגיע בניצב למישור הסריג. סריגי עקיפה באים, בדרך כלל, בציון קבוע הסריג, $\ N^{*}$, המוגדר כצפיפות הסדקים [מספר הסדקים ליחידת אורך], כלומר, $\ N^{*}={\frac {N}{L}}={\frac {1}{d}}$, כאשר, L הוא אורך הסריג ו-N הוא המספר הכולל של הסדקים. לכן, שימושי יותר לתאר את משוואת המקסימה על ידי $\ \sin \theta =N^{*}m\lambda$. כבר בשלב זה, ניתן לראות בבירור שניתן לשלוט בהפרדה הזוויתית של הסריג, בין אורכי גל סמוכים מסדר נתון, על ידי שינוי צפיפות הסדקים או הקווים המרכיבים אותו.

גם כאן, בדומה למקרה של שני סדקים, התפלגות האור על המסך, מושפעת הן מגורם העקיפה והן מגורם ההתאבכות, כאשר במקרה זה נלקחים בחשבון N סדקים, במקום שניים. התוצאה המתקבלת מסיכום ההשפעות של הסדקים הבודדים, נותנת את הביטוי, $\ I\left(\theta \right)=I_{m}\left({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)^{2}\left({\frac {\sin \left(N\beta \right)}{\sin \beta }}\right)^{2}$.

תכונה זו מוגדרת ככושר הפרדה, $\ R$, והיא מוגדרת בצורה דומה לזה של עדשה, כלומר, על ידי הפרדה זוויתית המתאימה למצב בו שני אורכי הגל, או הקווים, בקושי מופרדים זה מזה (ראה קריטריון ריילי). במצב זה, המקסימום של הקו האחד נופל בדיוק על המינימום הסמוך של השני. המשוואה למקסימום של הקו הראשון, $\ \lambda _{1}=\lambda +\Delta \lambda$ היא $\ d\sin \theta =m\left(\lambda +\Delta \lambda \right)$, ואילו המינימום של השני, $\ \lambda _{2}=\lambda$, מקיים, לפי קריטריון ריילי, $\ d\sin \theta =m\left(m+{\frac {1}{N}}\right)\lambda$. מהשוואת שני ביטויים אלה, מקבלים את השוויון $\ R\equiv {\frac {\lambda }{\Delta \lambda }}=Nm$, כלומר, הפרדה גבוהה יותר מתקבלת או על ידי סריג שהקבוע שלו גדול יותר, או באמצעות התבוננות בסדרים גבוהים יותר.

תופעות קשורות

א. בין היתר, אבל בעיקר, על מגבלת עקיפה [מבוא - ?] - בצילום, טלסקופיה ומיקרוסקופיה (המגבלה היא על רזולוציה; נותר לברר על גורלה של הגדלה בהקשר זה).

שימושים ויישומים

[מקורות: מבוא,] להפריד בין שימושים בעקיפה בכלל, לבין שימושים בסריג עקיפה. אינטרפרומטריה

עקיפה בקרני X

[לצרף את שני האיורים הראשונים בהאל, עמ' 1061]

אורך הגל האופייני לקרינת X הוא בסדר גודל של $\ 1\mathrm {\AA}$ (אנגסטרום, המוגדר כ-10^-10 מטר), הקטן בשלושה סדרי גודל מאורכי הגל האופייניים לספקטרום הנראה. סריג עקיפה אופטי, עדין ככל שיהיה, אין בכוחו ליצור תבנית עקיפה שימושית של קרינה זו. חישוב פשוט המבוסס על סריג שהמירווח בין סדקיו הוא 3 מיקרומטר (אופייני לסריג אופטי), ועל אורך גל של $\ 1\mathrm {\AA}$, מראה שזווית הראיה לסדר הראשון הוא 2 אלפיות המעלה ! עם זאת, מאחר ואורכי הגל האופייניים לקרינה זו הם בסדר הגדול של מרווחים בין אטומיים, הרי שגבישים הם מועמדים טבעיים לשמש סריגי עקיפה עבור קרינה זו, אם כי בשל המבנה התלת-ממדי של גבישים הם מספקים למעשה, סריגים תלת-ממדיים. סריגים כאלה כוללים גם מבנים מולקולריים וביומולקולריים, דוגמת חלבונים. עובדה זו הופכת את העקיפה בקרני X לטכנולוגיה שימושית ביותר בשדי הקריסטלוגרפיה ופיזיקה של מצב מוצק, הכימיה המבנית והביולוגיה המבנית.

התנאים לקבלת עקיפה של קרני X בגביש ניתנים על ידי חוק בראג, $\ 2d\sin \alpha =m\lambda$, כאשר, $\ d$ הוא המרווח, או הרוחק האנכי, בין מישורים סמוכים בסריג (ראה איור), ו-$\ \alpha$ היא הזווית בין הקרן הפוגעת לבין מישור הפגיעה [הערת שוליים: הזווית כאן מוגדרת בצורה שונה מהמקובל לגבי סריגי עקיפה אופטיים, שם הזווית מוגדרת ביחס לאנך למישור הפגיעה].

טיוטה כללית ומאגר חומרים זמני

להעביר את הדוגמאות לארגז תרגול נפרד, לצורך זה. $\Delta =nd+nd$

וזה בגדול (איך לעשות אותו קטן ?):

$\ fff=nd+nd$

רק לצורך השוואת גרסאות (לשם מה צריך את
 ?):

$\;n_{1}\sin {\theta _{1}}=n_{2}\sin {\theta _{2}}\;$

$\;n_{1}\sin {\theta _{1}}=n_{2}\sin {\theta _{2}}\;$ 

שים לב: בין שתי הנוסחאות כמו לעיל, חייבת לבוא שורת רווח, כדי להראות בצורה תקינה, טקסטואלית (לא בדיוק הצלחתי בכך, לחזור לזה).

נוסח מודרני יותר (של העקרון): הגדרת דרך אופטית:

נוסחת גאוס (עדשות דקות, קירוב פראקסיאלי): ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}$

נוסחת לוטשי העדשות (עדשות דקות):

$D={\frac {1}{f}}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

דוגמת כתיבה של משוואה ריבועית: $\ ax^{2}+bx+c=0$

\ משמש לציון משתנה, ובא לפניו. עדיין לא ברור למה דרוש
. איך קובעים כתב גדול / קטן ? זה קשור איכשהו לרווח/ים לפני ו/או אחרי / (ראה המשוואה הריבועית לעיל). להמשיך לבדוק את העניין.