פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה - היסטוריה של תורת ההסתברות עריכהמאמר נבחר ‏‏ הדגמת הטענה "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n". אינדוקציה מתמטית היא שיטה לוגית המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. האינדוקציה מורכבת משני טיעונים: ראשית, שהמספר 1 מקיים את התכונה, ושנית, שאם מספר טבעי n מקיים אותה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה. עקרון האינדוקציה מחליף סדרה אינסופית של הוכחות סופיות (אחת לכל מספר טבעי), בהוכחה סופית אחת המספיקה לכל המקרים. את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע הלוגיקן אוגוסטוס דה-מורגן, כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" בציקלופדיית פני ב-1838. השיטה עצמה הופיעה בצורתה המודרנית אצל בלז פסקל (1654), אם כי אפשר לזהות ניצנים של השיטה אצל מתמטיקאים שקדמו לו. גמישותה של שיטת האינדוקציה הפכה אותה לאחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל מתמטיקאי. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל - משפט עריכהמתמטיקאי נבחר אווריסט גלואה אווריסט גלואה (בצרפתית: Évariste Galois;‏ 25 באוקטובר 1811 – 31 במאי 1832), מתמטיקאי צרפתי, ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה. שני תחומים מרכזיים אלו באלגברה מופשטת פותחו על ידי גלואה עוד בהיותו בשנות העשרה לחייו. גלואה לא זכה בחייו להכרה על עבודתו, שכן נהרג בדו-קרב קודם שהגיע לגיל 21. הישגו הבולט ביותר היה פתרון בעיה שהטרידה את העולם המתמטי במשך מאות שנים – הוא הוכיח כי במקרה הכללי משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה אינן ניתנות לפתרון באמצעות נוסחה שמערבת את ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש בלבד, והראה מתי הדבר בכל זאת אפשרי. בגיל 16, בלי לדעת על עבודתו של אָבֶּל בראשית הקריירה שלו, האמין לתומו גלואה שגילה את הבלתי אפשרי ופתר את המשוואה הכללית ממעלה החמישית, וחזר על אותו משגה. למשך זמן קצר האמין שחולל את הפלא, אך לבסוף הודה בטעותו. הייתה זו רק אחת משורת תופעות זהות בחייהם של גלואה ואבל, המתמטיקאי הנורווגי הצעיר שמת חסר כל בגיל 26. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת־ממדי, שמחזירה וקטור. בתמונה מופיע כלל עזר למציאת כיוונה המוכר בשם "כלל יד ימין": אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת קירוב של הפונקציה $e^{x}\,$ לפולינום מדרגה n באמצעות פיתוח לטור מקלורן. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

דיוקן פייר דה פרמה

ב-1637, על שולי עותק של הספר "אריתמטיקה" מאת דיופנטוס, כתב פייר דה פרמה את המשפט הבא: עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים x,y,z המקיימים את המשוואה: $\!\ x^{n}+y^{n}=z^{n}$, ללא הוכחה, ובצירוף הערה: "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט הזה שהשוליים הללו צרים מלהכיל". המשפט הפך לאחד המשפטים המפורסמים בתורת המספרים, אך לאחר ניסיונות כה רבים להוכיח או להפריך אותו, בתחילת המאה ה-20 הוא נראה אתגר קשה עד בלתי אפשרי בעיני קהילת המתמטיקאים. עניין מחודש בבעיה עורר התעשיין היהודי-גרמני פאול וולפסקהל, שהיה מתמטיקאי חובב, והקצה בצוואתו 100,000 מרקים למוכיח המשפט. עם פטירתו וגילוי דבר הצוואה (1908), הפכה הזכייה בפרס וולפשקל ליעדם של חובבים רבים, שטענו שמצאו הוכחה למשפט, אך הוכחתם הייתה שגויה. מכתבים כה רבים ושגויים נשלחו לאוניברסיטת גטינגן כדי לזכות בפרס, עד שפרופסור אדמונד לנדאו נהג לתת לסטודנטים שלו למלא מכתב סטנדרטי עם מספרי העמוד והשורה בהם נמצאה הטעות הראשונה. מרטין גרדנר מספר על שיטות יצירתיות אף יותר: שליחת המכתב בחזרה והפניה לחובבן הקודם ששלח מכתב כבר סמכא, או התשובה "יש לי הפרכה נפלאה להוכחה שלך, אבל לרוע המזל הנייר הזה צר מלהכילה".

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

...אם הם יעסיקו עצמם בלימודי מתמטיקה, הם ימצאו שם את התרופה הטובה ביותר נגד תאוות הבשרים

— תומאס מאן

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$x=-{\frac {b}{a}}$$

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

$${\begin{aligned}x_{1,2,3}=-{\frac {b}{3a}}&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\end{aligned}}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

אדם רוכב על אופניים. במשך כל שעה הוא רוכב במהירות קבועה, של 10 קמ"ש או 5 קמ"ש, ובתחילת כל שעה משנה את מהירותו מהמהירות האחת לאחרת. כמה קילומטרים עבר במשך 7 שעות?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: אתר נבחרת ישראל במתמטיקה. האתר מהווה שער לתוכנית המיונים והאימונים של נבחרת ישראל במתמטיקה, ומכיל קישורים לאתרים רבים מהם אפשר ללמוד מתמטיקה. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: יוסי שלוסברג, המלכה והגולם – הרפתקאות מתמטיות ותעלומות מחשב, הוצאת עלו-עט, 2011 הספר כולל אוסף נרחב של סיפורים, אנקדוטות, בעיות וחידות מענפי המתמטיקה ומדעי המחשב. בנוסף לחידות ופתרונותיהן, ניתנים רמזים לסיוע בפתרון חידות קשות. הסיפורים והחידות מקובצים לפי נושאים, ובהם: מספרים אי-רציונליים מספרים ראשוניים אינדוקציה מתמטית אלגוריתמים לוגיקה ורבים אחרים. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

עריכהמבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי פיליפ הול, הוא משפט בקומבינטוריקה, שנותן תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.

נניח שיש לנו קבוצת נשים וקבוצת גברים וכל אישה מעוניינת בקבוצה חלקית כלשהי של הגברים. נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אישה גבר שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי כמובן). ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים. ניתן להכליל דרישה זו לכל קבוצת נשים. כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל $\!\,k$ נשים תהינה מעוניינות בלפחות $\!\,k$ גברים. משפט הול טוען כי תנאי זה הינו גם תנאי מספיק. נוסח לא פורמלי (אם כי מדויק לחלוטין) זה הוא שהעניק למשפט את כינויו.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

נושאים במתמטיקה
כמות	אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי	אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה	אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב	אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה	חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות	לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית	אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה	הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט
עריכהמבט על תחום נבחר טריגונומטריה (מיוונית trigōnon "משולש" + metron "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. את הקשרים האלו מאפיינים על ידי הפונקציות הטריגונומטריות, כאשר רוב העיסוק בתחום מתמקד באפיון תכונותיהן. הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן הסינוס והקוסינוס. לטריגונומטריה שימושים רבים במתמטיקה, הן בממתטיקה טהורה והן במתמטיקה שימושית, ובתחומים רבים במדעי הטבע והטכנולוגיה. לערך המלא לרשימת כל הערכים בתחום מבט על תחומים נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים ערכים מבוקשים וערכים טעוני שיפור קצרמרים להרחבה רשימות אוטומטיות: ערכים לשכתוב ערכים לעריכה ערכים להשלמה ערכים חדשים ערכים דורשי מקור ערכים לפישוט ערכים בלי תמונה

דיונים, ייעוץ ועזרה לשיתוף פעולה בנושאי מתמטיקה בקרו בחבורת אוילר – המעדון המתמטי של וויקיפדיה לדיונים בנושאי מתמטיקה בקרו בחוג של מרסן להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בהכה את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים